Technische Mathematik: Formeln umstellen (1) 26.03.2010, 10:58

Formeln umstellen, Vorschaubild

In technischen Berechnungen ist es tägliches Brot, Formeln umzustellen. Übt man dies nicht systematisch, wird sich mancher Schüler die Zähne daran ausbeißen. Eine Anleitung, wie das Umstellen gelingt.

Anzeige

1. Ausbildungsjahr 

Formeln umstellen 

In technischen Berechnungen ist es eine Routinearbeit, Formeln umzustellen. Übt man dies in der Ausbildung nicht systematisch, wird nicht wenigen Schülern das Thema »Formeln umstellen« ein spanisches Dorf bleiben.

Wenn die gesuchte Größe nicht alleine auf einer (der linken) Seite steht, dann muss sie schrittweise isoliert und dorthin gebracht werden.

Beispiel: Gestreckte Länge eines aus Stahl gebogenen Winkels. Er wird in einzelne, auf der neutralen Faser gemessenen Längen aufgeteilt.

L = l1 + l2 + l3. Diese Formel soll nach l3 umgestellt werden.

Wie bei allen Gleichungen gilt auch hier die wichtige Regel: 

Wird eine der beiden Seiten verändert, dann muss dies (gleichzeitig) auch auf der anderen Seite geschehen.

Man kann diese Regel mit dem Wiegen auf einer Balkenwaage vergleichen: Die Formel muss wie die Waage im Gleichgewicht bleiben. Bei der Waage ist dies nur möglich, wenn jeweils beide Schalen mit denselben Gewichten be- oder entlastet werden.

Die Veränderung wird als Anweisung rechts von der Formel vermerkt.

 

Beispiel: Gestreckte Länge eines Winkelstahls

Winkelstahl gestreckte Laenge

 

Formel L = l1 usw umstellen

 

L  =  l1 + l2 + l3   ∣ – (l1 + l2) = Anweisung: Subtraktion, auf beiden Seiten durchzuführen.

L – (l1 + l2)  =  l1 + l2 + l3 – (l1 + l2); damit heben sich rechts l1 und l2 auf:

L – l1 –  l2 =  l3   –> l3 muss nach links gebracht werden; die Seitenvertauschung ändert nichts an der Gleichung:

l3 =  L –  l1 –  l2

 

So könnte man bei der Behandlung des Themas im Unterricht vorgehen: Man sucht Formeltypen heraus und behandelt diese nacheinander in Zweierschritten:

1. Formeltyp vorstellen, nach unbekannter Größe umstellen.
2. Schüler mit anderen Formeln desselben Typs üben lassen.

Formeltypen sind: 

Formeln mit Summen/Differenzen
Formeln mit Produkten
Formeln mit Brüchen
Formeln mit Summen und Produkten
Formeln mit Potenzen/Wurzeln

Umstellungsbeispiele

Formeln mit Produkten

Beispiel Riementrieb (siehe Beitrag Riementrieb Berechnung)

d1 • n1 = d2 • n2   –> umstellen nach d2

Riementrieb-Formel umstellen

Formeln mit Brüchen 

 

Beispiel Dreiecksfläche 

Dreiecksformel umstellen

 

Beispiel Zahntrieb (siehe Beitrag Stirnräder)
Achsabstand, Modul, Zähnezahl

Blaue Schrägstriche: Diese Größen kürzen sich schrittweise heraus.

Getriebe Formelumstellungen

 

Formeln mit Summen und Produkten

Beispiel Lagerbelastung

Formel umstellen nach FA

Lagerkräfte Formel umstellen

 

 

Formeln mit Summen und Produkten

Beispiel Trapezfläche

Formel A = ... umstellen nach l2

Trapez-Formel umstellen

 

Formeln mit Potenzen und Wurzeln

Beispiel Satz des Pythagoras

c2 = a2 + b2

1. Formel nach c umstellen
2. Formel nach b umstellen

Pythagoras Formel umstellen

Formeln mit Potenzen/Wurzeln

 

Beispiel Kreisfläche

Formel A = ... umstellen nach d

Kreisformel Fläche umstellen nach d

______________

Im nächsten Beitrag vertiefen wir das Umstellen von Formeln