Körperschwerpunkt: Zusammengesetzte Fläche

Zusammengesetzte Flächen

Wir zerlegen die Fläche in Teilflächen bekannter Schwerpunktlage entsprechen der Beschreibung im Beitrag »Flächenschwerpunkte«. Dann behandeln wir die Inhalte der Teilflächen (in cm² oder mm²) wie Kräfte. Das ist erlaubt, denn: Wäre die Fläche ein dünnes Blech, dann kann man den Momentensatz für Kräfte bzw. Massen umformen. (Anmerkung: Genau genommen ist eine Fläche nicht durch einen Richtungspfeil (Vektor) darstellbar. Wir erlauben uns dennoch, Pfeile zu verwenden, weil wir immer den Vergleich mit der Kraft im Hinterkopf haben.)

Es ist
Teilgewicht F₁ = Volumen V₁ • Dichte ρ,
Teilvolumen V₁ = Fläche A₁ • Dicke s.
Dichte und Dicke des Blechteils sind überall gleich. Man kann deshalb mit Bezug auf das Achsenkreuz (Bild) den Momentensatz für Kräfte schreiben:
F_G1 • x₁ + F_G2 • x₂ + F_G3 • x₃ + = F_G • x₀, oder
(A₁ • s • ρ) • x₁ + (A₂ • s • ρ) • x₂ + (A₃ • s • ρ) • x₃ = (A_ges • s • ρ) • x₀; beide Gleichungsseiten durch s • ρ dividiert:
A₁ • x₁ + A₂ • x₂ + A₃ • x₃ = A_ges • x₀  –>

und in analoger Weise:

In den Rechenschritten sind:

F_G1  bis F_G3 = Teilgewichte
x₁ bis x₃  und y₁ bis y₃  = Schwerpunktsabstände der Teilgewichte
F_G = Gesamtgewicht
A₁ bis A₃ = Teilflächen
A_ges = Gesamtfläche
x₀ und y₀ = Schwerpunktsabstände

Beim Blechteil mit den angegebenen Maßen wäre dann

x₀ = (2 • 6 • 1 + 6 • 4 • 5 + 5 • 8 • 10,5) cm² • cm : 76 cm² = 7,263 cm

y₀ = (2 • 6 • 3 + 6 • 4 • 2 + 5 • 8 • 4) cm² • cm : 76 cm² = 3,211 cm

Das Verfahren ist umständlich und versagt sogar, wenn sich die Kräfte nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften. Gerade dieser Fall kommt aber in der Technik häufig vor; dann ist das Seileckverfahren vorteilhaft (siehe Beitrag »Körperschwerpunkt: Seileckverfahren«):

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