Körperschwerpunkt: Zusammengesetzte Fläche 04.02.2010, 19:43

Körperschwerpunkt bei zusammengesetzten Flächen, Vorschaubild

Rechnerisch und zeichnerisch den Schwerpunkt einer zusammengesetzten Fläche zu ermitteln, verlangt einigen Aufwand: Man muss die Fläche in Teilflächen bekannter Schwerpunktlage zerlegen und dann - bei der zeichnerischen Variante - mit dem Seileckverfahren operieren.

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Zusammengesetzte Flächen

Wir zerlegen die Fläche in Teilflächen bekannter Schwerpunktlage entsprechen der Beschreibung im Beitrag »Flächenschwerpunkte«. Dann behandeln wir die Inhalte der Teilflächen (in cm2 oder mm2) wie Kräfte. Das ist erlaubt, denn: Wäre die Fläche ein dünnes Blech, dann kann man den Momentensatz für Kräfte bzw. Massen umformen. (Anmerkung: Genau genommen ist eine Fläche nicht durch einen Richtungspfeil (Vektor) darstellbar. Wir erlauben uns dennoch, Pfeile zu verwenden, weil wir immer den Vergleich mit der Kraft im Hinterkopf haben.)

Einzelschwerpunkte am zusammengesetzten Koerper.png

Es ist
Teilgewicht F1 = Volumen V1 • Dichte ρ,
Teilvolumen V1 = Fläche A1 • Dicke s.
Dichte und Dicke des Blechteils sind überall gleich. Man kann deshalb mit Bezug auf das Achsenkreuz (Bild) den Momentensatz für Kräfte schreiben:
FG1 • x1 + FG2 • x2 + FG3 • x3 + = FG • x0, oder
(A1 • s • ρ) • x1 + (A2 • s • ρ) • x2 + (A3 • s • ρ) • x3 = (Ages • s • ρ) • x0; beide Gleichungsseiten durch s • ρ dividiert:
A1 • x1 + A2 • x2 + A3 • x3 = Ages • x0  –>

Formel_x0.png und in analoger Weise:

 

Formel_y0.png

In den Rechenschritten sind:

FG1  bis FG3 = Teilgewichte
x1 bis x3  und y1 bis y3  = Schwerpunktsabstände der Teilgewichte
FG = Gesamtgewicht
A1 bis A3 = Teilflächen
Ages = Gesamtfläche
x0 und y0 = Schwerpunktsabstände

Blechteil_1_440.png

Beim Blechteil mit den angegebenen Maßen wäre dann

x0 = (2 • 6 • 1 + 6 • 4 • 5 + 5 • 8 • 10,5) cm2 • cm : 76 cm2 = 7,263 cm

y0 =  (2 • 6 • 3 + 6 • 4 • 2 + 5 • 8 • 4) cm2 • cm : 76 cm2 = 3,211 cm

Das Verfahren ist umständlich und versagt sogar, wenn sich die Kräfte nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen wie bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften. Gerade dieser Fall kommt aber in der Technik häufig vor; dann ist das Seileckverfahren vorteilhaft (siehe Beitrag »Körperschwerpunkt: Seileckverfahren«):  

Flaechenschwerpunkt_440.png