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Trigonometrie: Besondere sin-, cos- und tan-Werte 20.06.2016, 06:01

Tabelle zu besonderen trigonometrischen Werten

Nur zu wenigen ganzzahligen Winkelwerten gehören übersichtliche Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte. Wie sie abgeleitet werden; mit einem praktischen Beispiel.

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Trigonometrie 

Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens erhält man für die Winkel nur ausnahmsweise ganzzahlige Werte. Beispiel: Der Sinus von 20° = sin 20° = 0,342, oder tan 50° = 0,873. Nur zu wenigen ganzzahligen Winkelwerten gehören übersichtliche Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte. Diese lassen sich vom gleichseitigen Dreieck ableiten, das durch Einziehen einer Höhe in zwei Hälften aufgeteilt wird (im Bild unten ist es die Höhe a).

Anmerkung: Bei tan 30° steht der Wurzelausdruck im Nenner. Man hätte ihn aber gerne im Zähler; dies geschieht durch Erweiterung es Bruchs mit Wurzel 3. Wurzel 3 mal Wurzel 3 = 3. Dasselbe gilt für sin 45°.

sin 30° = a/2 : a = 1/2 

cos 30° = a/2 • √3

tan 30° = a/2 : a/2 • √3 = 1/3 • √3

Vom gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck (zweite Skizze oben) mit den Längen a und s kann man ablesen: 

sin 45° = a : √2 = 1/2 • √2

cos 45° = a / a • √2 = 1/2 • √2

tan 45° = a : a = 1 


Aufgabe 

Nocken, d = 50 mm. Die Nockenscheibe1) (blau gezeichnet) wird auf einen Mitnahmezylinder geschweißt.

Drücken Sie die Kontrolllängen s, t, u und v in der Draufsicht durch d = s aus. s ist im 45°-Dreieck die untere, zwischen den Punkten A und B liegende Kathete.

Ein Nocken wird berechnet. Trigonometrische Zusammenhänge.

s = d = 50 mm

t ––>  sin 30° = d : t ––>  t = d : sin 30° = d : 1/2 = d • 2 = 50 mm • 2 = 

t = 100 mm 

u ––>  tan 30° = d : u; u = d : tan 30° = d : (1/3 • √3) = 50 mm : (1/3 • √3) 

u = 28,87 mm

v ––>  sin 45° = d : v; v = d : sin 45° = 50 mm : (1/2 • √2) = 

v = 35,36 mm 

s + u = 78,87 mm 

___________________

1) Nocken sind im Gesamtzusammenhang eher als Nockenwellen bekannt. Die Nockenwelle ist ein wellenförmiges Maschinenelement, auf dem ein gerundeter Vorsprung in Form einer Scheibe oder eines Zylinders (= der Nocken) sitzt. Die Welle dreht sich um die eigene Achse; durch den auf ihr angebrachten Nocken wird diese Drehbewegung wiederholt in eine kurze Radialbewegung umgewandelt.

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Kommentare

1

Zum Artikel "Trigonometrie: Besondere sin-, cos- und tan-Werte".

  • #1

    Neben den tabellierten Werten, die man in vielen Sammlungen findet, kann man z.B. aus dem regelmäßigen Fünfeck viele weitere Funktionswerte mit Wurzeln angeben:
    sin18°=cos72°=(sqrt5 - 1)/4
    sin36°=cos54°=(1/2)*sqrt((5-sqrt5)/2)
    sin54°=cos36°=(sqrt5 + 1)/4
    sin72°=cos18°=(1/2)*sqrt((5+sqrt5)/2)
    Grundsätzliches dazu findet man auch in Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus
    Viel Spass beim Herleiten von sin7,5°, sin15°, sin22,5°, ...

    MfG
    Karl H. Günther

    schrieb K.Günther am

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