Statik: Kräfte am Anhänger 08.02.2012, 06:18

Eine Prüfungsaufgabe aus dem Technischen Gymnasium. Gefragte Themen: Momentengleichgewicht, Seileckverfahren, Winkelfunktionen.

Beachten: Niveau Techn. Gymnasium, Berufskolleg u. Ä.

Situation: Ein Pkw-Anhänger ist mit einer Last F₂ = 4 000 N beladen. Der Anhänger selbst wiegt F₁ = 1  600 N. 

Berichtigung: Das Maß l₁ ist nicht 1200 mm sondern 1900 mm!

Aufgaben:
1. Die auf die Kupplungskugel wirkende Kraft F_K soll 800 N nicht überschreiten. Wie groß darf das Maß l₆ sein, wenn diese Vorgabe eingehalten werden soll? 

2. Der Anhänger ist abgekuppelt und steht frei auf dem Stützrad. Die Last steht ganz rechts an der Anhängerwand.
Ermitteln Sie zeichnerisch die auf das Stützrad wirkende Kraft.

3. Der beladene Anhänger wird auf einer Steigung mit 12% nach oben gezogen.
a) Zu berechnen: die Zugkraft. 

b) Zwischen Last und Anhängerboden wird ein Reibwert μ = 0,18 angenommen. Bleibt die Last bei der Fahrt auf der oben angegebenen Steigung sicher stehen? 

Lösungsvorschläge 

1. Für die Formulierung des Momentengleichgewichts legen wir den Drehpunkt in den Reifenaufstandspunkt (= unbekannte Kraft F_A):

Σ M_(A) = 0 = F₁ ∙ l₄  + F₂ ∙ (l₃ - l₆ - l₅/2) - F_K ∙ l₁ –>
F₂ ∙ (l₃ - l₆ - l₅/2) = F_K ∙ l₁ - F₁ ∙ l₄
l₃ - l₆ - l₅/2 = (F_K ∙ l₁ - F₁ ∙ l4) : F₂; ganze Gleichung mal (-1)
- l₃ + l₆ + l₅/2 = - (F_K ∙ l₁ - F₁ ∙ l₄) : F₂
l₆ = l₃ - l₅/2 - (F_K ∙ l₁ - F₁ ∙ l₄) : F₂
l₆ = 1350 mm - 475 mm - ( 800 N ∙ 1 900 mm - 1 600 N ∙ 160 mm ) : 4 000 N =
l₆ = 559 mm

2. Wir erinnern an Hauptaussagen zum Seileckverfahren.

Aufgaben mit parallelen Kräften oder Kräften, die sich auf dem Zeichenblatt nicht zum Schnitt bringen lassen, können zeichnerisch mit dem Seileckverfahren gelöst werden. Gleichgewicht zwischen allen angreifenden Kräften liegt vor, wenn sich Seileck und Krafteck schließen (Schlusslinienverfahren).

Vorgehensweise:
- Wir legen einen Längenmaßstab fest und zeichnen den Lageplan.
-  Wir legen einen Kräftemaßstab fest  zeichnen den Kräfteplan, in dem wir den Pol beliebig annehmen. Polstrahl 1 liegt zwischen F_A und F₁, Polstrahl 2 liegt zwischen F₁ und F₂ Polstrahl 3 liegt zwischen F₂ und F_B. Die drei Strahlen werden parallel in den Lageplan verschoben.
- Die Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte mit F_A und F_B ist die noch fehlende Schlusslinie SL, die das Seileck schließt. SL wird zuletzt umgekehrt aus dem Lageplan in den Kräfteplan zurück verschoben. Auf diese Weise ergeben sich die Längen von F_B und F_A. Über den Kräftemaßstab berechnen wir die Kräfte.
Kräftemaßstab KM 1 cm ≜ 500 N
Längenmaßstab LM 1 cm ≜  20 cm

FB: herausgemessen 3,45 cm ≜ 1725 N
FA: herausgemessen 7,8 cm ≜ 3 900 N

3.
Der beladene Anhänger wird auf einer Steigung mit 12% nach oben gezogen.
a) Zu berechnen: die Zugkraft F_Z.

Steigung 12 % bedeutet: tan α = 0,12 –> α = 6,84°
Zugkraft F_Z = F_G ∙ sin α = 5 600 N ∙ sin 6,84° = 5 600 N ∙ 0,119 = 667 N 

F_Z = 667 N  

b) Verrutscht die Last bei μ = 0,18? 

Hangabtriebskraft F_H = F₂ · sin 6,84°= 4 000 N · 0,119 = 476,4 N  

Reibkraft F_R = F₂ · cos α · μ = 4 000 N · cos 6,84° · 0,18 = 714,9 N

Die Last verrutscht nicht, weil F_H kleiner ist als die bremsende Reibungskraft F_R.

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Die unvollständige Skizze unten ist für die Verwendung in Arbeitsblättern gedacht.