Hebebühne (2): Kräfte am Scherenhebel 13.04.2015, 06:12

Funktionszeichnung eines Hubwagens mit Abmessungen und Kraftangriffspunkten.

Im Beitrag »Hebebühne (1): Scherenbühne« stellten wir die Scherenbühne mit ihren Einzelteilen vor und animierten den Leser, den Hebel 2 freizumachen. Hier wird ein Lösungsvorschlag mit der Berechnung der Kräfte gezeigt.

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Scherenbühne, Kräfte am Scherenhebel 

Scherenbühne Aufbau, Einzelteile, Kräfte

Vor der Berechnung des Hebels Pos. 2 stellen wir einen ähnlichen Fall vor und rechnen ihn durch, um warmzulaufen.

Hubwagen 

Der hier dargestellte Hubwagen war vor Jahren eine Statik-Prüfungsaufgabe in einem Techn. Gymnasium. Sie ist leichter zu bewältigen als unsere Scherenbühne, denn der Erfinder der Aufgabe sorgte zur Freude der Prüflinge dafür, dass außer der Last FB auch die Zylinderkraft FD senkrecht wirkt. (Dies würde sich sofort ändern, wenn die Last nach oben gefahren würde: Der Zylinder würde sich schräg nach links stellen. In der neuen Position wäre die Aufgabe unlösbar – ebenso wie unsere Scherenhebel-Aufgabe.

Die Last steht mittig auf der Plattform, so dass B und D gleich stark belastet werden. Bekannt sind also die auf die Punkte B und D wirkenden Kräfte: FB = FD = 750 daN. α = 30°. Unbekannt sind FC und FA. Sie wollen wir berechnen.

Zeichnung Hubwage mit Maßen

Bild unten: Ausleger freigemacht 

Wir stellen die drei Gleichgewichtsbedingungen auf: 

ΣMA = 0 = FB • l1 + FD • l2 – FC • l3. Wir stellen die Gleichung nach FC um: 
FC = (FB • l1 + FD • l2) : l3. Wenn wir die Zahlen einsetzen, ergibt sich für 

FC = 3 875 daN 

ΣFX = 0 = FCx – FAx  ––> FAx = FCx 

FAx = FCx = FC • sin α = 3 875 daN • 0,5 = 

FAx = 1938 daN = FCx

ΣFY = 0 = FB +FD – FCy + FAy 

FAy = FCy – FB – FD

cos α = FCy : FC  ––> FCy = FC • cos α = 3875 daN • 0,866 

FCy = 3 356 daN

Hubwagen, Hubarm freigemacht

FAy = 3 356 daN – 750 daN – 750 daN

FAy = 1 856 daN 

FAx = FCx = FC • sin α = 3875 daN • 0,5 

FAx = 1 938 daN 

FA = √ (FAx daN)2 + FAy daN)2 

FA = 2683 daN  ––> tan β = FAx : FAy = 1 938 daN : 1 856 daN = 1,044   ––> β = 46,2° (zwischen FA und der Senkrechten) 


Wir kommen zur Scherenbühne und zum Hebel 2 zurück.

Unten: Der freigemachte Hebel 2. 

Gegeben:  
FL = 6 000 N 
l = 1300 mm
lK = 715 mm  
l3 = 645,2 mm
α = 52°; β = 27°. 


 Zu berechnen sind: 

a) Abstand a
b) Abstand b  
c) Kraft F3 

d) Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnen: Die Kräfte FK, F3 und FA mit ihren horizontalen und vertikalen Komponenten FKx, FKy, F3x, F3y, FAx und FAY. 

 Einfachschere, Hebel freigemacht

 

Bild unten: Hilfsskizzen für die Verwendung von Winkelfunktionen

 

Lösungsvorschläge

a) (Skizze Dr1):   cos α = a : l  –> a = l • cos α = 1300 N • 0,6157 = 
                                 a = 800,4 N 

b) sin α = b : l –> b = l • sin α =1300 N • 0,788 =
                            b = 1 024,4 N 

c) (Skizze Dr2) F3:   sin α = F2 : F3  –> F3 = F2 : sin α = 1 500 N : 0,788 = 
                         F3 = 1 903,5 N 

d) Gleichgewichtsbedingungen: 

ΣMA = 0 = F1 • a – FK • lK + F3 • l –> FK = (F1 • a + F3 • l3) : lK
FK = 3 397 N 

ΣFX = 0 = FKX – F3X – FAX  –> FAX = FKX – F3X 

(Skizze Dr3): FKX:   sin β = FKX : FK  –> FKX = FK • sin β = 3 397 N • 0,454 = 
FKX = 1 542 N

(Skizze Dr2) F3X:   cos α = F3X : F3  –> F3X = F• cos α = 1 903,5 N • 0,6157 = 
F3X = 1 172 N 

FAX = 1 542 N – 1 172 N = 
FAX = 370 N 

ΣFY = 0 = F1 – FKY + F3Y + FAY  –> FAY = FKY – F1 – F3Y 

(Skizze Dr3) FKY:   cos β = FKY : FK  –>  FKY = FK • cos β = 3 397 N • 0,891 = 
FKY = 3 027 N 

(Skizze Dr2) F3Y:   sin α = F3Y : F3  –> F3Y = F3 • sin α = 1 903,5 N • 0,788 = 
F3Y = 1 500 N ( = F2) 

FAY = 3 027 N – 1 500 N – 1 500 N = 27 N 

FAX = 370 N 
tan γ = FAY : FAX = 27 N : 370 N = 0,073  –> γ = 4°23' 

sin γ = FAY : FA  –> FA = FAY : sin γ = 27 N : 0,076 = 
FA = 355 N 

FA wirkt mit 355 N unter dem Winkel γ = 4° 23' zur Waagrechten (siehe Skizze freigemachter Hebel 2).

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