Zahnradberechnung (1) 13.08.2008, 15:51

Zahnradberechnung (Ausschnitt)

Zahnradrechnen ist Modulrechnen. Sogar das Bruchrechnen kommt hier zu Ehren.

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»So rechnet man‘s«                   

Zahnradberechnungen

Gegenüber Riementrieben haben Zahntriebe einenen großen Vorteil: Sie übertragen Bewegungen und Drehmomente formschlüssig und mit konstant bleibender Übersetzung. Es gibt also keinen Schlupf. Der Schlupf ist das Zurückbleiben der praktischen Drehzahl hinter der theoretischen (berechneten) Drehzahl.  

1. Einzelrad im Stirnradtrieb

Drei wichtige Größen an einem Zahnrad sind:

Vielen Zahnradabmessungen liegt der Modul m zugrunde. Er ist in DIN 780 genormt. Zahnräder können nur dann zusammenarbeiten  - man sagt, sie »kämmen« miteinander - wenn ihr Modul gleich groß ist.

Das wichtigste Maß am (Stirn) Zahnrad ist der (theoretische) Teilkreisdurchmesser d.

d = z • m

Der Zahnkopf - er liegt zwischen dem Teilkreisdurchmesser und dem Kopfkreisdurchmesser - ist gleich dem Modul:

ha = m = 6/6 • m.

Abmessungen am Einzelzahnrad (Stirnrad)

Kräfte werden nur über die Zahnflanken übertragen. Zwischen Fuß und Kopf der beiden Zahnräder muss wegen der Rundungen am Zahnfuß Luft sein, das so genannte Fuß- bzw. Kopfspiel. Das Fuß- oder Kopfspiel ist nach Norm festgelegt mit 1/6 • m. Folglich ist der

Zahnfuß 6/6 • m + 1/6 • m = 7/6 • m hoch.
 

Zahnmaße

Aus diesen Erkenntnissen kann man die Berechnungsformeln für den Kopfkreisdurchmesser da (= Außendurchmesser) und den Fußkreisdurchmesser df leicht ableiten:

da = d + 2 • m,

df = d – 2 • 7/6 • m = m • (z – 7/3)

Ebenso ganz oben : d = z • m

Schrägverzahnte Stirnräder

Bei Zahnrädern mit Schrägverzahnung (Schrägungswinkel β) liegen die »Normalteilung« pn und der Normalmodul mn in einer senkrecht zur Verzahnungsrichtung gemessenen Ebene. Die Stirnteilung pt und der Stirnmodul mt liegen in Umfangsrichtung und werden an der Stirnfläche gemessen.

Strirnmodul mt = mn : cos β

Stirnteilung pt = pn : cos β

Bei der Herstellung von Stirnrädern mit Schrägverzahnung entspricht das Profil der Werkzeuge dem Normalprofil. Bei einem kämmenden Zahnradpaar ist ein Zahnrad rechtssteigend und das andere Zahnrad linkssteigend. Der Schrägungswinkel β ist bei beiden Rädern gleich.

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Näheres zu »Formeln umstellen« siehe hier

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Kommentare

10

Zum Artikel "Zahnradberechnung (1)".

  • #1

    Danke für den Hinweis, Dieter - wir haben die Formel im Zahnradbeitrag entsprechend korrigiert!

    schrieb tec.Lehrerfreund am

  • #2

    Der erste Kommentar (#1) ist ganz richtig:
    In der Formel
    df = d – 2 • 7/6 = m • (z – 7/3)
    ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler.
    Richtig muß es heißen:
    df = d – 2 • 7/6• m = m • (z – 7/3)
    Sollte im Original korrigiert werden.

    schrieb Dieter am

  • #3

    Zur Berechnung des Fußkreisdurchmessers steht im Artikel: df = d – 2 • 7/6 = m • (z – 7/3)

    Fehlt da vielleicht ein irgendetwas im mittleren Term?

    schrieb nur zufällig hier am

  • #4

    Hallo Der Gärtner!

    Der Modul m ist eine rein geometrische Größe, die nur mit den Zahnradabmessungen zusammenhängt.
    Der Umfang eines Zahnrads (auf dem Teilkreisdurchmesser d gemessen) ergibt sich aus der Zähnezahl z und der Zahnteilung p: U = z • p. Der Umfang ist aber auch d • π, oder: z • p = d • π  ––> d = z • p : π.  p : π fasst man zum Modul m zusammen: ––> d = z • m. Der Grund für die Zusammenfassung: π mit seinen x Stellen hinter dem Komma ist eine ganz ungeschickte Zahl, die den Zahnradkontrolleur zu Verzweiflung bringen müsste. Sie wird dadurch ausgemerzt, dass man den Modul normt, z. B. m = 1, 2, 3, 4 mm usw. So hätte ein Zahnrad mit 21 Zähnen und dem Modul 2,5 mm einen Teilkreisdurchmesser von 52,5 mm, also eine schöne glatte Zahl. Darin ist von Pi keine (sichtbare) Spur mehr vorhanden. 
    Daran sehen Sie, dass der Modul gar nichts mit der Drehzahl oder dem Drehmoment zu tun hat.
    Was man allerdings tun kann, ist, dass man m in Formeln für n oder M einfügt, wenn es sich als angebracht erweist.

    Gruß
    tec.LF

    schrieb tecLEHRERFREUND am

  • #5

    Hallo,
    eine Frage zur Auslegung von Stirnrädern hätte ich. Kann ich, sofern ich die Antriebs- sowie Abtriebsdrehzahl und ein Antriebsmoment und eine Antriebsleistung gegeben habe, das Modul berechnen bzw. sinnvoll festlegen?

    danke schonmal und freundliche Grüße!

    schrieb Der Gärtner am

  • #6

    Hallo Herr Huybrechts,

    einen Zahnriemen über ein Evolventenzahnrad laufen lassen: das ist in jedem Fall ein Notbehelf. Damit ein Zahnriemen sauber läuft, muss sein Gegenstück, die Riemenscheibe, im Profil genau mit dem Riemenprofil übereinstimmen. Das ist bei einem normalen Zahnrad nur annähernd der Fall.
    Wenn Sie es unbedingt ausprobieren wollen, käme nur der T-Riemen mit Trapezprofil in Frage. Davon gibt es drei Größen mit den Teilungen T = 2,5 mm, 5 mm und 10 mm. Die dazu passenden Moduln wären m = p : 3,14 = 2,5 : 3,14 = 0,796; m = 1,91 und m = 3,183. Aus der genormten Modulreihe 1 (DIN 780) liegt dafür am nächsten m = 0,8. Der T 2,5 hat eine Zahnhöhe = 0,7 mm, der Zahn des Zahnrads mit m = 0,8 ist 1,73 mm hoch.
    Wieviel Sie abdrehen müssen, müssten Sie durch Experimentieren herausfinden; wir schätzen etwa 0,5 mm.

    Grüße
    tec.LF

    schrieb Der Lehrerfreund am

  • #7

    Hallo,
    Kleine Riemscheiben für Zahnriemen von T=2 sind schwierig zu finden. Kann man Zahnräder mit M2 verwenden für diesem Ziel?
    Soll die Höhe der Zahne abgedreht werden?
    Mfg

    schrieb ludo huybrechts am

  • #8

    Hallo nemo,

    Sie wollen den Kopfkreis da aus dem Fußkreis df berechnen. Die Formel lautet dann: 

    da =df + (2 x 7/6 m + 2 x m) = df + 13/3 x m
    (x = mal)

    Gruß
    tec. LF

    schrieb tec. LEHRERFREUND am

  • #9

    Lieber tec.LEHRERFREUND,

    muß die Formel nicht lauten: da = df + 2 • m ?


    Mit freundlichen Grüßen

    nemo

    schrieb nemo am

  • #10

    Hallo Karin,

    nach DIN 867 liegt das Kopfspiel zwischen c = 0,1 ∙ m und 0,3 ∙ m, wobei –  je nach Verzahnwerkzeug – als Vorzugswerte 0,17 ∙ m, 0,25 ∙ m oder 0,3 ∙ m vorgesehen sind.
    Dass wir auf unterschiedliche Fußkreisdurchmesser kommen, liegt daran, dass Sie mit c = 0,25 ∙ m gerechnet haben, während wir c = 1/6 ∙ m gewählt haben. 

    Gruß
    tec.LEHRERFREUND

    schrieb tec.LEHRERFREUND am

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