Statikaufgabe: Wandkran 10.07.2015, 05:54

Im Mittelpunkt der Aufgaben-Lösungen stehen die Gleichgewichtsbedingungen ΣMA = 0; ΣFx = 0; ΣFy = 0.

Statikaufgabe: Wandkran

Der Kran ist an einer Wand an den Lagerpunkten A und D befestigt. Die Stange hält den Träger in waagrechter Lage. Über die in Punkt C montierte Umlenkrolle läuft das Zugseil und hebt die Last F₃ an.

Maße und Gewichte (Bild unten): 

Winkel α = 32° 
Trägergewicht F₁ = 720 kg  
Gewicht Seilantrieb F₂ = 1,8 kN 
Last F₃ = 5 kN (max). 

l₁ = 1,2 m
l₂ = 1,5 m
l₃ = 2,0 m
l₄ = 2,4 m

Die Zeichnung ist nicht maßstäblich dargestellt. 

Aufgaben 

1. Die Umlenkrolle freimachen 
    In welcher Richtung wird das Lager C beansprucht? Antwort begründen.

2. F_C berechnen

3. Träger freimachen

4. Welche Kräfte wirken am Träger, wenn F₃ = 5 kN am Seil hängt?

5. Wie groß ist die Stangenkraft F_B. In welcher Richtung wirkt sie? 

Lösungsvorschläge 

1. F_C wirkt unter 45° nach links unten. Begründung: Die Umlenkrolle ist eine feste Rolle. Sie lenkt Kräfte lediglich um. Die Last F₃ wirkt auch im waagrechten Trum des Seils, d.h. die Seiltrommel im Seilgetriebe zieht mit F₃ = 5 kN. 

2. cos α = F₃ : F_C  ––> F_C = F₃ : cos α = 5 kN : 0,707 = 7,07 kN

3. Freigemachter Träger, Bild unten

4. Kräfte berechnen

Momentengleichgewicht:

ΣM_A = 0 = F₁ • l₁ – F_By • l₂ + F₂ • l₃ + F_Cy • l₄ 

F_By = (F₁ • l₁ + F₂ • l₃ + F_Cy • l₄) : l₂  

FBy = (720 N • 1,2 m + 1 800 N • 2 m + 5 000 N • 2,4 m) : 1,5 m 

F_By = 10 976 N

Kräftegleichgewicht Fx:

ΣF_x = 0 = F_Ax – F_Bx – F_C;  ––> F_Bx : tan α = F_By : F_Bx ––> F_Bx = F_By : tan 32° = 10 976 N : 0,6249 = 
F_Bx = 17 565 N

F_Ax =  F_Bx + F_Cx = 17 565 N + 5 000 N 

F_Ax = 22 565 N

Kräftegleichgewicht Fy: 

ΣFy = 0 = FAy + F1 – FBy + F2 + F3 

FAy =  FBy – F1 – F2 – F3 = 10 976 N – 720 N – 1 800 N – 5 000 N =
F_Ay = 3 456 N 

F_A = √ F_Ay² + F_Ax² = √ (3 456 N)² + (22 565 N)² = 
F_A = 22828 N 

Winkel zwischen F_A und F_Ay = β: tan β = F_Ax : F_Ay = 22 565 N : 3456 N = 6,539 
β = 81,3°
 

5. F_B berechnen: sin 32° = F_By : F_B ––> F_B = F_By : 0,53 = 20 709 N 
F_B = 20 709 kN

Das Bild unten ist für die Verwendung in Arbeitsblättern gedacht.