Kräfte am Vordach - Culmannsche Gerade üben 14.12.2011, 13:19

Vordach mit Schnee (Ausschnitt einer Zeichnung), Vorschaubild

Ein Vordach muss außer seinem Eigengewicht eine Schneelast tragen. Wie stark werden dabei die Anlenkpunkte belastet? Auch hier hilft wieder die Culmannsche Gerade weiter.

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Niveau: Technische Oberschule, Berufskolleg u. Ä.

Kräfte an einem Vordach

Aufgaben

1. Das 650 N schwere Hausvordach ist mithilfe der Stäbe S1, S2 und S3 an der Hauswand befestigt. Wie groß sind die Stabkräfte?

2. Das Vordach muss eine Schneelast von 800 N tragen können (Abstände usw. siehe Skizze). Wie groß sind die Stabkräfte jetzt?

Kräfte am Vordach

Die Aufgaben lösen wir wie folgt.

Aufgabe 1: Dach ohne Schneelast

a) Das Vordach freimachen.

Dabei werden anstelle der Stäbe die auf das Vordach wirkenden Kräfte eingezeichnet. Man erkennt: Es sind die vier Kräfte FG, FA, FB und FS2. Um das Gleichgewicht von vier Kräften zu finden, benötigen wir die Culmannsche Gerade.

Vordach freigemacht

b) Die Stabkräfte FB und FS2 zeichnerisch ermitteln.

Wir konstruieren die Culmannsche Gerade C.G. Sie geht davon aus, dass wir zwei Kräfte mit möglichst hohem Informationsgehalt zum Schnitt bringen. Das sind die Kräfte FG und FA. Von FG kennen wir Richtung und Größe, von FA nur die Richtung. Das Kräfteparallelogramm ergibt sich aus der Richtung der C.G.
Am Punkt B greifen zwei weitere Kräfte an: FB und FS2. Die Resultierende von FA und FG muss auch die Resultierende von FB und FS2 sein, allerdings mit entgegengesetzter Richtung. Beide Resultierende liegen auf derselben Wirkungslinie, die nichts anderes ist als die Culmannsche Gerade.

c) Das Krafteck mit den Kräften FG, FA, FB und FS2 zeichnen. Die vier Kräfte bilden eine geschlossenes Krafteck. Die Diagonale entspricht den Resultierenden FA,G und FB,S2.

Für die Pläne wurden folgende Maßstäbe gewählt (die auf der Webseite leider verzerrt erscheinen):

Lageplan: ML =  0,2 m / 1 cm;   Kräfteparallelogramme: MK = 300 N/ 1 cm

Ergebnisse (herausgemessen):

FB = 1680 N   / FS2 = 750 N   / FA = 1245 N

2. Dach mit Schneelast 

Vordach mit Schnee Lagerkraefte berechnen

 I. Waagrechte Kräfte Σ Fx = 0 = FA -  Fx

II. Senkrechte Kräfte Σ Fy = 0 = Fy  – FG - FS

III. Momentengleichung um den Punkt B: Σ M(B) = 0 = FA · lA –  FG · lG – FS · l

Aus III.: FA · lA =  FG · lG + FS · lS

FA =  (FG · lG + FS · lS) :  lA  = (650 N · 1,0 m + 800 N · 1,3 m) : 0,5 m

FA = 3380 N

Aus I.: Fx = FA = 3380 N 

Aus II.: Fy = FG + FS = 1450 N 

Formel_FB

FB = 3678 N 

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Die Skizze unten könnte für ein Arbeitsblatt verwendet werden.